Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения icon

Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения




НазваниеМетодическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения
страница4/10
Дата03.12.2012
Размер2.62 Mb.
ТипМетодическое пособие
источник
I=50 А изогнут под углом ?=2?/3. Определить магнитную индукцию В
B на две составляющие: dB┴ – перпендикулярную плоскости кольца и dB
B=50 мТл). По проводу течет ток I
Рис. 11 На этот элемент тока Idl будет действо­вать по закону Ампера сила dF
F представим в виде где i
F сонаправлена с положительным направлением оси Оу (единичным вектором j
В=104 мкТл.Пример 10. Квадратная рамка со стороной длиной а
M=0. В данном случае на рамку действуют два момента (рис. 12): M
Рис. 12Следовательно, формула (1) может быть переписана в виде M
М2 ста­вится потому, что этот момент противо­положен по направлению моменту M
I= 100 А, свободно установился в од­нородном магнитном поле индукцией В=
B=1,5 мТл. Определить: 1) радиус R
U, определяется равенством Т=
F сообщает электрону нормальное ускорение а
R=0,19 мм. Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью ?x
R и ? и вычислив, получим h
Рис. 14 Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что вектор ско­рости v
Qe—q?b = o
N= 1000 витков, с часто­той n=
L=1,6 мГн. Пример 22. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром
...
Полное содержание
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Пример 4. Длинный провод с током ^ I=50 А изогнут под углом ?=2?/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 5). Расстояние d=5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. В соответ­ствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная ин­дукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций B1 и В2 полей, создаваемых отрезками длинных проводов

1 и 2, т. е. В = В12. Магнитная индукция В2 равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси проводника, dВ=0([dl,r]=0).

Магнитную индукцию В1 найдем, воспользовавшись формулой (3), полученной в примере 3:

,

где r0 кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А (рис. 6)

В нашем случае α1→0 (проводник длинный), α2=α= =2π/3 (cos α2= cos (2π/3))=–½. Расстояние r0=d sin (π−α)= d sin(π/3)=. Тогда магнитная индукция



Так как В=В1(В2=0), то



Вектор В сонаправлен с вектором В1 и определяется правилом правого винта. На рис. 6 это направление отмечено значком X (перпендикулярно плоскости чертежа от нас).




Рис. 5 Рис. 6

Проверка единиц аналогична проверке выполненной в примере 1.

Произведем вычисления:




Пример 5. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I=80 А. Найти магнитную индукцию В в точке A, равно­удаленной от всех точек кольца на расстояние г=20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био — Савара — Лапласа:

dB[dl,r],


где dB —магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиус-вектором r.


Рис. 7

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 7). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукции В в точке А определяется интегралом



где интегрирование ведется по всем элементам dI кольца Разложим вектор d^ B на две составляющие: dB – перпендикулярную плоскости кольца и dB — параллельную плоскости кольца, т. е.

dB=dB?+dB??. Тогда



Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dB от различных элементов dI сонаправлены, заменим векторное суммирование, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:



где ( поскольку dI перпендикулярен r и, следовательно, sin ?=1). Таким образом,



После сокращения на 2π и замены cos β на R/r (рис. 7)



Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления:



или



Вектор В направлен на оси кольца (пунктирная стрелка на рис. 7) в соответствии с правилом буравчика.


Пример 6. бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 8. Радиус дуги окружности R=10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в токе О током I=80 A, текущим по этому проводнику.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей В=∑Вi. В на­шем случае проводник можно разбить на три части (рис. 9) два прямолинейных проводника (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

B=B1+B2+B3

где B1, В2 и В3 — магнитные индукции поля в точке О, создавае­мые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника.




Рис. 8 Рис. 9


Так как точка О лежит на оси проводника 1, то В1=0 и тогда

B=B2+B3

Учитывая, что векторы В2 и В3 направлены в соответствии с пра­вилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, гео­метрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В=В23.

Магнитную индукцию поля В2 можно найти, используя выраже­ние для магнитной индукции в центре кругового проводника с то­ком I:



Так как магнитная индукция В2 создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать



Магнитную индукцию В3 найдем, используя формулу (3) при­мера 3:



В нашем случае




Тогда



Используя найденные выражения для В2 и В3 получим



или



Произведем вычисления:




Пример 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l=2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d=20 см друг от дру­га, текут одинаковые токи I=1 кА. Вычислить силу F взаимодей­ствия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток соз­дает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Пред­положим, что оба тока (обозначим их 1г и I2) текут в одном направ­лении.

Вычислим силу F1,2, с которой магнитное поле, созданное током I1, действует на проводник с током I2. Для этого проведем магнит­ную силовую линию так (штриховая линия на рис. 10), чтобы она касалась проводника с током I2. По касательной к силовой линии проведем вектор магнитной индукции В1. Модуль магнитной индук­ции B1 определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I2 длиной dl2 действует в магнитном поле сила



Так как отрезок dl перпендикулярен вектору B1, то



и тогда

(2)


Подставив в выражение (2) В1 из (1), получим






Рис. 10

Силу F1,2 взаимодействия проводников с током найдем интегрированием по всей длине второго проводника;



Заметив, что I1=I2=I и l2=l, получим



Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы



Произведем вычисления:



Сила F1,2 сонаправлена с силой dF1,2 (рис. 10) и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.


Пример 8. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (^ B=50 мТл). По проводу течет ток I=10 А. Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводя­щие провода находятся вне поля.

Решение. Распо­ложим провод в плоско­сти чертежа перпенди­кулярно линиям маг­нитной индукции (рис. 11) и выделим на нем малый элемент dl с то­ком.




^ Рис. 11

На этот элемент тока Idl будет действо­вать по закону Ампера сила dF=I[dlB]. Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рис. 11. Силу d^ F представим в виде



где i и j — единичные векторы (орты); dFx и dFyпроекции векто­ра dF на координатные оси Ох и Оу.

Силу F, действующую на весь провод, найдем интегрированием:



где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L.

Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю

тогда

(1)

Из рис. 11 следует, что



где dF — модуль вектора Так как вектор dl перпендикулярен вектору то Вы­разив длину дуги dl через радиус R и угол α, получим



Тогда




Введем dFy под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пре­делах от -π/2 до +π/2 (как это следует из рис. 11):



Из полученного выражения видно, что сила ^ F сонаправлена с положительным направлением оси Оу (единичным вектором j).

Найдем модуль силы F:



Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):



Произведем вычисления:




Пример 9. На проволочный виток радиусом г=10 см, помещен­ный между полюсами магнита, действует максимальный механиче­ский момент Мmax=6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2А. Опреде­лить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Дей­ствием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с то­ком в магнитном поле,

(1)

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α=π/2(sin α=l), а также что pm=IS, то формула (1) примет вид



Отсюда, учитывая, что S=πr2, находим

(2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдем

^ В=104 мкТл.


Пример 10. Квадратная рамка со стороной длиной а=2 см, содер­жащая N=100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения С которой равна 10 мкН·м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнит­ного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I=1 А она повернулась на угол α=60°.

Решение. Индукция В внешнего поля может быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в рав­новесии, если сумма механических моментов, действующих на нее, будет равна нулю:

^ M=0.

В данном случае на рамку действуют два момента (рис. 12): M1 — момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током, и М2 — момент упругих сил, возникающих при за­кручивании нити, на которой рамка подвешена.

^ Рис. 12


Следовательно, формула (1) может быть переписана в виде

M1 + M2=0

Выразив М1 и М2 в этом равенстве через величины, от которых зависят мо­менты сил, получим


(2)

Знак минус перед моментом ^ М2 ста­вится потому, что этот момент противо­положен по направлению моменту M1.

Если учесть, что pm=ISN=Ia2N, где I — сила тока в рамке; S=a2площадь рамки; N — число ее витков, равенство (2) перепишем в виде

откуда

(3)

Из рис. 12 видно, что α=π/2φ, значит, sin α=cos φ. С учетом этого равенство (3) примет вид

(4)

Значение постоянной кручения С, рассчитанной на градус (а не радиан, как это следовало бы выразить в СИ), запишем в виде



так как значение угла φ также дано в градусах.

Подставим данные в формулу (4) и произведем вычисления:




Пример 11. Плоский квадратный контур со стороной длиной а = 10 см, по которому течет ток ^ I= 100 А, свободно установился в од­нородном магнитном поле индукцией В=1Тл. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относи­тельно оси, проходящей через середину его противоположных сто­рон, на угол: 1) φ1=90°; 2) φ2= З0. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. На контур с током в магнитном поле действует механический момент

(1)

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю

(М=0), а значит φ=0, т. е. векторы рm и В совпадают по направле­нию.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремить­ся возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла φ поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

dA=Md? (2)

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что рт= IS=Ia2, где I — сила тока в контуре, S=a2площадь контура, получим



Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

(3)

1. Работа при повороте на угол φ1=900

(4)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу работы (Дж):



После вычисления по формуле (4) найдем A1=l Дж.

2. Работа при повороте на угол ф2=3°. В этом случае, учитывая, что угол ф2 мал, заменим в выражении (3) sin φ на φ:

(5)

Выразим угол φ2 в радианах (см. табл. 9)

Φ2=30=3·l,75·10-2 рад=0,0525 рад.

После подстановки значений I, В, а и φ2 в формулу (5) получим А2=1,37 мДж.


Пример 12. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциа­лов U=400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией ^ B=1,5 мТл. Определить: 1) радиус R кривизны траектории; 2) ча­стоту п вращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.

Решение. 1. Радиус кривизны траектории электрона опре­делим, исходя из следующих соображений: на движущийся в маг­нитном поле электрон действует сила Лоренца F. (Действием силы тяжести можно пренебречь.) Вектор силы Лоренца перпендикуля­рен вектору скорости и, следовательно, по второму закону Ньютона, сообщает электрону нормальное ускорение аn : F=man. Подставив сюда выражения F и аn, получим

?e??B sin ?=m?2/R, (1)

где е, ?, т — заряд, скорость, масса электрона; В — индукция маг­нитного поля; R — радиус кривизны траектории; ? — угол между направлениями векторов скорости v и индукции В (в нашем случае v?B и ? = 90°, sin ? =l).

Из формулы (1) найдем

(2)

Входящий в выражение (2) импульс m? выразим через кинетическую энергию Т электрона:

(3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов ^ U, определяется равенством Т= ?e?U. Подставив это выражение Т в формулу (3), получим

Тогда выражение (2) для радиуса кривизны приобретает вид



Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу длины (м):


м

После вычисления по формуле (4) найдем

R=45 мм.

2. Для определения частоты вращения воспользуемся формулой связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории,



Подставив R из выражения (2) в эту формулу, получим



Произведя вычисления, найдем n=4,20 ? 107 c-1 .

Пример 13. Электрон, имея скорость ?=2 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В=30 мТл под углом ?=30° к направлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Решение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции В и скорости v частицы:

F=Q?B sin ?, (1)

где Q — заряд частицы.

В случае, если частицей является электрон, формулу (1) можно записать в виде

F= ?e??B sin ?.

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скоро­сти, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (1), останется постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная си­ла, перпендикулярная скоро­сти, вызывает Рис. 13

движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в маг­нитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, рав­ной поперечной составляю­щей ?1 скорости (рис. 13); одновременно он будет дви­гаться и вдоль поля со ско­ростью ???:

??? = ? sin ?, ??? = ? cos ?.

В результате одновременного участия в движениях по окружно­сти и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем сле­дующим образом. Сила Лоренца ^ F сообщает электрону нормальное ускорение ап. По второму закону Ньютона, F=man, где F=?e??1B и an=?2 ?R,. Тогда

?e???B = m?22/R,

откуда после сокращения на ?z находим радиус винтовой линии:



Подставив значения величин т, ?, e, В и ? и произведя вычисле­ния, получим

^ R=0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью ?x за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот,

h =??? T (2)

где T=2?R/??период вращения электрона. Подставив это выра­жение для Т в формулу (2), найдем



Подставив в эту формулу значения величин ?, ^ R и ? и вычислив, получим h=2,06 мм.

Пример 14. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В=0,03 Тл по окружности радиусом r=10 см. Опреде­лить скорость ? электрона.

Решение. Движение электрона по окружности в однородном магнитном поле совершается под действием силы Лоренца (см. примеры 1 и 2). Поэтому можно написать

(1)

откуда найдем импульс электрона:

р=т?=?е?Вr. (2)

Релятивистский импульс выражается формулой



Выполнив преобразования, получим следующую формулу для определения скорости частицы:

(3)

В данном случае р= ?e?Br. Следовательно,



В числитель и знаменатель формулы (4) входит выражение ?е? Вr0 с). Вычислим его отдельно:

|е| Вr / (m0c) = 1,76.

Подставив найденное значение отношения ?е? Вr0 с) в формулу (4), получим

? = 0,871, или ? = с?= 2,61-108 м/с.

Электрон, обладающий такой скоростью, является релятивистским.

Пример 15. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U=104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E=10 кВ/м) и магнитное (B=0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа-частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частиц:

QU=m?2/2,

откуда

Q/m=?2/(2U). (1)

Скорость ? альфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца Fл=Q[], направленная перпендикулярно скорости v и вектору магнитной индукции В;

б) кулоновская сила FK=QE, сонаправленная с вектором напряженности Е электростатического поля (Q>0).

Сделаем рисунок с изображением координатных осей и векторных

величин. Направим вектор магнитной индукции В вдоль оси Оz (рис. 14), скорость v—в положительном направлении оси Ох, тогда Fл и Fk будут направлены так, как это указано на ри­сунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометри­ческая сумма сил Fл+Fk будет равна нулю. В проекции на ось



^ Рис. 14

Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что вектор ско­рости v перпендикулярен вектору магнитной индукции В и sin (v?B)=l):

^ QE—Q?B = O,

откуда

? =E/B.

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

Q/m=E2( 2UB2).

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу отно­шения заряда к массе (Кл/кг):



Произведем вычисления:

Пример 16. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I=50 А, расположена прямоуголь­ная рамка так, что две большие стороны ее длиной l=65 см парал­лельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизываю­щий рамку?

Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением



Рис. 15

В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Вn=В. Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где x— расстояние от провода до точки, в которой определяется В.

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также за­висеть от х, то

dФ=B(x)dS.

Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шири­ной dx и площадью dS=ldx (рис. 15). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площад­ки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учетом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

dФ=

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x1=a до х2=2а, найдем

|?2?.

Подставив пределы, получим



Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб): [?0] [I] [l]= Гн/м ?1 А ?1 м=1 Вб. Произведя вычисления по формуле (1), найдем Ф=4,5 мкВб.

Пример 17. Определить индукцию В и напряженность Н магнит­ного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, со­держащей N=200 витков, идет ток I=5 А. Внешний диаметр d1 тороида равен 30 см, внутренний d2= 20 см.

Решение. Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии маг­нитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряженности одинаковы. Поэтому в выражении циркуля­ции напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегри­рование проводить в пределах от нуля до 2 ?r, где r — радиус ок­ружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычис­ляется циркуляция,

(1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока цир­куляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме то­ков, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется цирку­ляция:

(2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

(3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2?rH=-NI, откуда

(4)

Для средней линии тороида r=1/2(R1R2)=1/4(d1+d2). Подставив это выражение r в формулу (4), найдем

(5)

Магнитная индукция В0 в вакууме связана с напряженностью поля соотношением B0=?0H. Следовательно,

(6)

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:

H=1,37 кА/м, B0=1,6 мТл.


Пример 18. Виток, по которому течет ток I=20 А, свободно уста­новится в однородном магнитном поле В=16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно по­вернуть виток на угол ?=?/2 относительно оси, совпадающей с диа­метром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре

неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выраже­нием



где Ф1 и Ф2 — магнитные потоки, пронизывающие контур в началь­ном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и про­тивоположна ей по знаку, т. е.

(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (по­ложение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного мо­мента Рис. 17 pm контура сонаправлен с вектором В (рис. 17, а) и магнит­ный поток Ф1 максима­лен (?=0, cos ?=1), т. е. Ф1=ВS (где S — площадь контура).

В ко­нечном положении (рис. 17, б) вектор pm перпендикулярен вектору B (?=?/2, cos ?=0) и маг­нитный поток Ф2=0. Перепишем выражение (1) с учетом сделан­ных замечаний:



Так как площадь контура S=?d2/4. то работа



Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):



Произведем вычисления:



Пример 19. В однородном магнитном поле с индукцией B=0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая ^ N= 1000 витков, с часто­той n=1 c -1. Площадь S рамки равна 150 см2. Определить мгновен­ное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции , определя­ется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла:

(1)

Потокосцепление ?=, где N — число витков, пронизывае­мых магнитным потоком Ф. Подставив выражение ? в формулу (1), получим

(2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рам­ку в момент времени t, изменяется по закону Ф=ВS cos? t, где В — магнитная индукция; S — площадь рамки; ?— угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

(3)

Угловая частота со связана с частотой п вращения соотношением ?=2?п. Подставив выражение со в формулу (3) и заменив ?t на угол ?, получим

(4)

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу ЭДС (В). Учтя, что 2 ?, N и sin ?t — величины безразмер­ные и неименованные, получим



Произведя вычисления по формуле (4), найдем




Пример. 20. По соленоиду течет ток I=2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Оп­ределить индуктивность L соленоида, если он имеет N=800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением ? соотношением ?=LI, откуда L=?/I. Заменив здесь потокосцепление ? его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (?=ФN), получим

(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L == 1,6 мГн.

Пример 21. При скорости изменения силы тока ?I/?t в соле­ноиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндук­ции 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС само­индукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотноше­нием *




Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим



Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим



Сделав вычисления по этой формуле, найдем

^ L=1,6 мГн.

Пример 22. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d=0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток I=1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изо­ляции пренебречь.

Решение. Возможны два способа решения, 1-й способ. Ко­личество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством

(1)

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет . Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой



Внося выражение силы тока ^ I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ? (при t??I?0), получим



Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:

(2)

^ 2-й способ. Подставив в формулу (1) вместо силы тока I выраже­ние ее через ЭДС индукции, и сопротивление R соленоида, т. е.



Но связана со скоростью изменения потокосцепления ? по закону Фарадея —Максвелла: =-d?/dt, тогда



Интегрируя, получаем

(3)

Потокосцепление ? пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно, ?1=LI0; ?2=0, так как ?2 соответствует тому мо­менту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения ?1 и ?2 в формулу (3), получим Q=?1/R, или



что совпадает с формулой (2). Для определения заряда, протекающего через обмотку соленои­да, следует найти индуктивность ^ L соленоида и сопротивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами



где ?0 — магнитная постоянная; N — число витков; l1 длина соленоида; S1 — площадь сечения соленоида; ? — удельное сопро­тивление провода; l—длина провода; S—площадь сечения про­вода; d—диаметр провода; d1—диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения L и R в формулу (2), получим



Заметим, что длина провода l может быть выражена через диа­метр d1 соленоида соотношением l=?d1 N, где N — число витков, тогда формуле (4) можно придать вид



Но l1/N есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,



Произведя вычисления по формуле (5), получим

^ Q=363 мкКл.


Пример 23. На стержень из немагнитного материала длиной l=50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W маг­нитного поля внутри соленоида, если сила тока I в обмотке равна 0,5 А. Площадь S сечения стержня равна 2 см2.

Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктив­ностью L, по обмотке которого течет ток ^ I, выражается формулой

. (1)

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника за­висит только от числа витков на единицу длины и от объема ^ V сер­дечника: L=μ0n2V, где μ0 —магнитная постоянная. Подставив вы­ражение индуктивности L в формулу (1), получим. Учтя, что V=lS, запишем

. (2)

Сделав вычисления по формуле (2), найдем

W=126 мкДж.


Пример 24. По обмотке длинного соленоида со стальным сердеч­ником течет ток ^ I=2А. Определить объемную плотность ω энергии магнитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сан­тиметре длины соленоида равно 7 см-1.

Решение. Объемная плотность энергии магнитного поля оп­ределяется по формуле

. (1)

Напряженность ^ Н магнитного поля найдем по формуле H=nl. Подставив сюда значения п (п =7 см-1=700 м-1) и I, найдем

H=1400 А/м.

Магнитную индукцию В определим по графику (рис. 18) зависимости В от Н. Находим, что напряженности H=1400 А/м со­ответствует магнитная индукция B=1,2 Тл.

Произведя вычисление по формуле (1), найдем объемную плот­ность энергии:

ω=840 Дж/м3.


Пример 25. На железный сердечник длиной l=20 см малого се­чения (d<l) намотано N=200 витков. Определить магнитную прони­цаемость μ железа при силе тока I=0,4 А.

Решение. Магнитная проницаемость μ связана с магнитной индукцией В и напряженностью Н магнитного поля соотношением

B= μ0μH. (1)

Эта формула не выражает линейной зависимости В от Н, так как μ является функцией Н. Поэтому для определения магнитной прони­цаемости обычно пользуются графиком зависимости В(Н) (см. рис. 24.1). Из формулы (1) выразим магнитную проницаемость:

μ =B/( μ0H).

Напряженность Н магнитного поля вычислим по формуле (ка­тушку с малым сечением можно принять за соленоид) Н=п1, где п — число витков, приходящихся на отрезок катушки длиной 1 м. Выразив в этой формуле п через число N витков катушки и ее дли­ну l, получим
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10



Похожие:

Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодичка для выполнения второй контрольной работы: федеральное агентство по образованию
Физика: Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения. – Вологда: Вогту, 2008, с
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения
Физические основы механики. Элементы специальной теории относительности. Механические колебания и волны. Основы термодинамики. Электростатика...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconФизическая культура
Методические указания и контрольные задания для студентов всех специальностей вечерне-заочного отделения
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconИ. Я. Яковлева культура древнего востока учебно-методическое пособие
Культура Древнего Востока. Учебно-методическое пособие для студентов заочного отделения факультета русской филологии/ Автор-составитель...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconУчебно-методическое пособие для практических занятий для студентов
Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по рус­ской литературе 2/3 XIX века для студентов дневного и заочного отделений....
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие для слушателей курсов повышения квалификации специальности «Геофизика» по программе «Методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых в промысловой и разведочной геофизике»
Методическое пособие предназначено для слушателей курсов повышения квалификации специальности «Геофизика», изучающих дисциплину «Правовые...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие по латинскому языку для внеаудиторной самостоятельной работы студентов-бакалавров заочного отделения
«Московский государственный юридический университет имени О. Е. Кутафина (мгюа)»
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие для подготовки к практическим занятиям по логике по теме
Данное методическое пособие предназначено студентам заочного факультета для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Логика»...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие для подготовки к практическим занятиям по логике по теме
Данное методическое пособие предназначено студентам заочного факультета для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Логика»...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconУчебно-методическое пособие по педагогической (методической) практике для студентов IV и V курсов, обучающихся по направлению 050100. 62
Учебно-методическое пособие по педагогической (методической) практике, для студентов 4-го и 5-го курсов отделения романо-германской...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©edu.znate.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы