Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения icon

Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения




НазваниеМетодическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения
страница9/10
Дата03.12.2012
Размер2.62 Mb.
ТипМетодическое пособие
источник
С=3R=25 Дж/(моль∙К)
А принадлежит одно­временно восьми элементар­ным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А
В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячей­ку в гранецентрированной решетке
Таблица вариантов Контрольная работа № 6
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Пример 5. Найти среднюю кинетическую энергию одной моле­кулы аммиака NH3 при температуре t=27 °С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.

Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле

(1)

где i — число степеней свободы молекулы; k постоянная Больцмана; Т—термодинамическая температура газа: T=t+Т0, где Т0=273 К.

Число степеней свободы i четырехатомной молекулы, какой явля­ется молекула аммиака, равно 6.

Подставим значения величин в (l):

.

Средняя энергия вращательного движения молекулы определя­ется по формуле

, (2)

где число 3 означает число степеней свободы поступательного дви­жения.

Подставим в (2) значения величин и вычислим:

.

Заметим, что энергию вращательного движения молекул ам­миака можно было получить иначе, разделив полную энергию (?) на две равные части. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней свободы, приходящихся на поступательное и враща­тельное движение, одинаково (по 3), поэтому энергии поступатель­ного и вращательного движений одинаковы. В данном случае



Пример 6. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.

Решение. При равновесном распределении пылинок кон­центрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при­менить формулу Больцмана

n=n0e-U/(kT). (1)

Так как в однородном поле силы тяжести U=mgz, то

n=n0e-mgz/(kT) (2)

По условию задачи, изменение ?n концентрации с высотой мало по сравнению с n (?n/n=0,01), поэтому без существенной погреш­ности изменение концентрации ?n можно заменить дифференциа­лом dn.

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

dп= —п0e-mgz/(kT)dz.

Так как п0e-mgz/(kT)=n, то

dn= -ndz.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

dz= -

Знак минус показывает, что положительным изменениям координа­ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями ?z и ?n:

?z =.

Подставим в эту формулу значения величин ?n/n=0,01, k=1,38?10-23 Дж/К, T=300 К, m= 10-21 кг, g=9,81 м/с2 и, произведя вычисления, найдем

?z=4,23 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (m== 10-18 г) очень быстро изменяется с высотой.


Пример 7. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число ?N молекул, скорости υ которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости υв.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться рас­пределением молекул по относительным скоростям u (u=υ/υв). Число dN(u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до du, определяется формулой

, (1)

где N — полное число молекул.

По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул υmax=0,001υв, откуда umaxmaxв=0,001. Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле, для u«1 имеем е-2?1-u2. Пренебрегая значением u2=(0,001)2=10-6 по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде

. (2)

Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до umax, получим

, или . (3)

Выразив в (3) число молекул N через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную формулу:

. (4)

Подставим в (4) значения величин v, na и произведем вычисле­ния:

.


Пример 8. Зная функцию f(р) распределения молекул по импуль­сам, определить среднее значение квадрата импульса <p2>.

Решение. Среднее значение квадрата импульса <p2> можно определить по общему правилу вычисления среднего:

. (1)

Функция распределения молекул по импульсам имеет вид

(2)

Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е.

.

С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:

(3)

Подставим выражение f(p) по уравнению (2) в формулу (3) и выне­сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:



Этот интеграл можно свести к табличному.

, положив .


В нашем случае это даст



После упрощений и сокращений найдем

<p2>=3mkT.


Пример 9. Определить количество теплоты ?Q, необходимое для нагревания кристалла NaCI массой m=20г на ?Т=2К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) T1=?В; 2) Т2=2К. Характеристическую температуру Дебая ?D для NaCI принять равной 320 К.

Решение. Количество теплоты ?Q, подводимое для нагревания тела от температуры ?1 до ?2, Может быть вычислено по формуле

, (1)

где С - теплоемкость тела (системы)

Теплоемкость тела связана с молярной теплоёмкостью Cm соотношением С=(m/М) Cm, где m-масса тела; М-молярная масса. Подставив это выражение С в формулу (1), получим

. (2)

В общем случае Cm есть функция температуры, поэтому за знак Интеграла ее выносить нельзя. Однако в первом случае изменением теплоемкости по сравнению с ее значением при температуре Т, можно пренебречь и считать ее на всем интервале температур ?T постоянной и равной Cm1). Ввиду этого формула (2) примет вид

?Q=(m/M)Cm1)?T. (3)

Молярная теплоёмкость Cm1) в теории Дебая выражается формулой

.

В первом случае при Т1=? интеграл



и, следовательно,

Cm =2,87R.

Подставляя это значение Cm в формулу (3),получим

?Q=2,87(m/M)R?T. (4)

Произведя вычисление по формуле (4), найдём

?Q=16,3Дж.

Во втором случае (Т<D) нахождение ?Q облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной температуры. В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного интервала температур и ее нельзя выносить за знак интеграла в формуле (2)

Используя выражение предельного закона Дебая

,

получим



Выполним интегрирование:

. (5)

С учетом того, что Т2+?Т=2Т2, выражение (5) примет вид

,

или

.

Подставив в последнюю формулу значения величин ?, m, M, R, Т и ?В произведя вычисления, найдём ?Q=1,22мДж.


Пример 10. Молярная изохорная теплоемкость аргона при температуре 4 К равна 0,174 Дж/(моль∙К). Определить значение молярной изохорной теплоемкости аргона при температуре 2 К.

Решение. Согласно теории Дебая, теплоемкость кристаллической решетки при низких температурах Т, когда Т<<θD, где θD – характеристическая температура Дебая, пропорциональна кубу термодинамической температуры,

. (1)

При высоких температурах, когда Т>>θD, теплоемкость кристаллической решетки описывается законом Дюлонга и Пти

^ С=3R=25 Дж/(моль∙К). (2)

Так как при Т1=4 К теплоемкость аргона С1=0,174 Дж/(моль∙К) много меньше, чем 3R=25 Дж/(моль∙К), выполняется закон Т3 Дебая, согласно которому

, , (3)



или

. (4)

Подставляя числовые данные в (4), получим

С2=0,022 Дж/(моль∙К).


Пример 11. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определить максимальную частоту колебаний кристаллической решетки. Сколько фотонов такой же частоты возбуждается в среднем в кристалле при температуре 300 К.

Решение. Дебаевская температура

, (1)

где νmax – максимальная частота колебаний кристаллической решетки, h=6,625∙10-34 Дж∙с, k=1,38∙10-23Дж/К – постоянная Больцмана.

Из (1) найдем

. (2)

Подставляя в (2) числовые значения, получаем

.

Среднее число фотонов с энергией εi:

. (3)

Энергия фотона, соответствующая частоте колебаний νmax,

εi=h∙ν=k∙θD. (4)

Подставляя (4) в (3),

,

.


Пример 12. Определить число п узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке.

Решение. Выделим элементарную ячейку в кубической ре­шетке (рис. 1) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (нахо­дящиеся на гранях куба в точке пересечения диагона­лей).

Узел ^ А принадлежит одно­временно восьми элементар­ным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А вхо­дит с долей 1/8. Узел В вхо­дит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов

типа А в ячейке равно восьми, Рис. 1

а число узлов типа ^ В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячей­ку в гранецентрированной решетке,

n = (1/8)?8 + (1/2)?6 = 1 + 3 = 4 узла.

Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома.


Пример 13. Определить параметр а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решет­ка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность ? кри­сталла кальция равна 1,55?103 кг/м3.

Решение. Параметр а кубической решетки связан с объемом элементарной ячейки соотношением V = а3. С другой стороны, объем элементарной ячейки равен отношению молярного объема к числу элементарных ячеек в одном моле кристалла: V = Vm/Zm. Приравняв правые части приведенных выражений для V найдем

a3 = Vm/Zm (1)

Молярный объем кальция Vm = M/?, где ? — плотность кальция; М — его молярная масса. Число элементарных ячеек в одном моле

Zm =NA/n,

где п — число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в формулу (1) приведенные выражения для Vm и Zm, получим


Рис. 2
a3 = nM/(?NA)

Отсюда

(2)

Подставим значения величин п, М, ? и NA в формулу (2), учи­тывая, что п = 4 . Произведя вычисления, найдем

а =556 пм.

Расстояние d между ближайши­ми соседними атомами находится из простых геометрических сооб­ражений, ясных из рис. 2:

.

Подставив в это выражение най­денное ранее значение а, получим d=393 пм.


Пример 14. Кусок металла объёма V=20 см³ находится при температуре Т=0. Определить число ΔN свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса рmax не более чем на 0,1 рmax. Энергия Ферми ?ƒ=5эВ.

Решение. Для того чтобы установить распределение свободных электронов в металле по импульсам, воспользуемся распределением Ферми для свободных электронов при T=0:

(1)

Так как dn(?) есть число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале значений от ? до ?+d? (?ƒ), то оно должно быть равно числу электронов dn(p) в единице объема, заключённых в интервале значений импульса от р до p+dp, т. е.

dn(р)=dn(?). (2)

При этом должно соблюдаться следующее условие. Данной энергии ? соответствует определенный импульс р(?ƒ=p²(2m)) и интервалу энергий d? отвечает соответствующий ему интервал импульсов


.

Заметив, что ?1/2=p/(2m)1/2, подставим в правую часть равенства (2) вместо dn(?) выражение (1) с заменой ? на р и

d? на dp в соответствии с полученными соотношениями, т. е.

.

После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в металле по импульсам при Т=0:

.

Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от рmax –0,1 рmax до рmax, найдем интегрированием в соответствующих пределах:

, или .

Учитывая, что максимальный импульс рmax и максимальная энергия ? электронов и металле (при Т=0) связаны соотношением р²max=2m?ƒ, найдём искомое число ΔN свободных электронов в металле:

, или ,

Подставив значения величин ?, m, ?ƒ, ћ и V и произведя вычисления (5эВ=8·10-19Дж), получим ΔN=2,9·1023 электронов.


^ Таблица вариантов

Контрольная работа № 6


Вариант

Номера задач




1

1

11

21

31

41

51

61

71

2

2

12

22

32

42

52

62

72

3

3

13

23

33

43

53

63

73

4

4

14

24

34

44

54

64

74

5

5

15

25

35

45

55

65

75

6

6

16

26

36

46

56

66

76

7

7

17

27

37

47

57

67

77

8

8

18

28

38

48

58

68

78

9

9

19

29

39

49

59

69

79

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10



Похожие:

Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодичка для выполнения второй контрольной работы: федеральное агентство по образованию
Физика: Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения. – Вологда: Вогту, 2008, с
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения
Физические основы механики. Элементы специальной теории относительности. Механические колебания и волны. Основы термодинамики. Электростатика...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconФизическая культура
Методические указания и контрольные задания для студентов всех специальностей вечерне-заочного отделения
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconИ. Я. Яковлева культура древнего востока учебно-методическое пособие
Культура Древнего Востока. Учебно-методическое пособие для студентов заочного отделения факультета русской филологии/ Автор-составитель...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconУчебно-методическое пособие для практических занятий для студентов
Учебно-методическое пособие к практическим занятиям по рус­ской литературе 2/3 XIX века для студентов дневного и заочного отделений....
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие для слушателей курсов повышения квалификации специальности «Геофизика» по программе «Методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых в промысловой и разведочной геофизике»
Методическое пособие предназначено для слушателей курсов повышения квалификации специальности «Геофизика», изучающих дисциплину «Правовые...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие по латинскому языку для внеаудиторной самостоятельной работы студентов-бакалавров заочного отделения
«Московский государственный юридический университет имени О. Е. Кутафина (мгюа)»
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие для подготовки к практическим занятиям по логике по теме
Данное методическое пособие предназначено студентам заочного факультета для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Логика»...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconМетодическое пособие для подготовки к практическим занятиям по логике по теме
Данное методическое пособие предназначено студентам заочного факультета для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Логика»...
Методическое пособие для студентов всех технических специальностей заочного отделения iconУчебно-методическое пособие по педагогической (методической) практике для студентов IV и V курсов, обучающихся по направлению 050100. 62
Учебно-методическое пособие по педагогической (методической) практике, для студентов 4-го и 5-го курсов отделения романо-германской...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©edu.znate.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы