Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" icon

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "мурманский государственный технический университет"




Скачать 237.72 Kb.
НазваниеФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "мурманский государственный технический университет"
Дата18.02.2014
Размер237.72 Kb.
ТипМетодические указания
источник
Содержание
Электронное издание подготовлено в авторской редакции
Мурманский государственный
Составитель Пантелеев Владимир Петрович к.ф.-м.н., проф каф. ИСи ПМ
Тематический план
Тема 2. Основные формулы и теоремы.
Тема 3. Случайные величины.
Тема 4 Системы случайных величин.
Список рекомендуемой литературы
Содержание и методические указания к изучению тем дисциплины «Теория вероятности и математическая статистика»
Контрольная работа №1
N+10)-этажного жилого дома независимо вошли два пассажира. Какова вероятность, что они выйдут на разных этажах, если лифт с этим
E. В волка попал лишь второй пастух; F.
X распределена равномерно в промежутке [N/
Методические указания к контрольной работе № 1
A. Первый пастух попал в волка; B.
I=A+B). Поэтому, вычисляя вероятность событий (или меру истинности предложений) от A
K выносится множителем за знак интеграла, интеграл легко вычисляется и K
Вопросы для самоподготовки по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ


"МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"


Кафедра информационных

систем и прикладной математики


Теория вероятностей и математическая статистика


Методические указания и контрольные задания
для бакалавров направления 080100.62 «Экономика»

заочной и заочно-ускоренной формы обучения


Мурманск

2013



Составитель – Пантелеев Владимир Петрович, профессор кафедры информационных систем и прикладной математики Мурманского государственного технического университета


Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой информационных систем и прикладной математики 10 июня 2013 г., протокол № 9


Рецензент – Яретенко Николай Иванович, доцент кафедры информационных систем и прикладной математики Мурманского государственного технического университета


^ Электронное издание подготовлено в авторской редакции


Мурманский государственный технический университет

183010, Мурманск, ул. Спортивная д. 13 тел. (8152) 25-40-72

Уч.-изд. л. 0,8 Заказ 496


^ Мурманский государственный

технический университет, 2013


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «МГТУ»)


Кафедра Информационных систем и

Прикладной математики


Методические указания и контрольные задания

для студентов заочной и заочно-ускоренной формы обучения


по дисциплине Теория вероятностей и Математическая статистика

для направления подготовки 080100.62 «Экономика»


Мурманск 2013
^





Составитель Пантелеев Владимир Петрович


к.ф.-м.н., проф каф. ИСи ПМ



Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры разработчика


Информационных систем и Прикладной математики


10.06.2013 протокол №_____________________________


Заведующий кафедрой ИСиПМ ____________________________________(Ковальчук В. В.)




ОГЛАВЛЕНИЕ


Составитель Пантелеев Владимир Петрович 3

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры разработчика 3

ОГЛАВЛЕНИЕ 4

Тема 1. Понятие вероятности. Классическое определение и непосредственное вычисление вероятности. Алгебра свойств (событий, предложений, множеств). Условная вероятность и вероятность произведения. Вероятность суммы. Совместные и несовместные, зависимые и независимые события. 5

Тема 2. Основные формулы и теоремы. Повторные независимые испытания. Геометрические и гипергеометрические вероятности (распределение). Формула Бернулли. Асимптотические формулы Лапласа и Пуассона. Полная вероятность и формула Байеса. 5

Тема 3. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики случайных величин. Непрерывные случайные величины. Функция плотности. Нормальная случайная величина. Функции Гаусса и Лапласа. Другие законы распределения. 5

Тема 4 Системы случайных величин. Зависимые и независимые величины. Совместные распределения. Ковариация и коэффициент корреляции. Устойчивость средних. Неравенство Чебышева и его применение. Закон больших чисел, теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема. 5

Список рекомендуемой литературы 6

Содержание и методические указания к изучению тем дисциплины 7

«Теория вероятности и математическая статистика» 7

Тема 4. Системы случайных величин. Зависимые и независимые величины. Совместные распределения. Ковариация и коэффициент корреляции. Устойчивость средних. Неравенство Чебышева и его применение. Теорема Чебышева и закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. 8

Контрольная работа №1 8

Методические указания к контрольной работе № 1 10

Задача 131. В предстоящие сутки два траулера приходят в порт под разгрузку. Разгрузка каждого длится 16 часов и начинается по прибытию, но не прежде, чем разгрузится тот из них, что прибыл раньше. Какова вероятность, что ни одному из них не придется ждать, пока разгрузится другой (событие A). Ответ: 1/9. 14

Вопросы для самоподготовки 16

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» 16

^ Тематический план




п\п

Содержание,

разделы и темы дисциплины

Число часов на виды учебной подготовки

Лк.

Пр.

Лр.

Ср.

1

2

3

4

5

6

1

Тема 1. Понятие вероятности. Классическое определение и непосредственное вычисление вероятности. Алгебра свойств (событий, предложений, множеств). Условная вероятность и вероятность произведения. Вероятность суммы. Совместные и несовместные, зависимые и независимые события.

1

1







2

^ Тема 2. Основные формулы и теоремы. Повторные независимые испытания. Геометрические и гипергеометрические вероятности (распределение). Формула Бернулли. Асимптотические формулы Лапласа и Пуассона. Полная вероятность и формула Байеса.

1

1







3

^ Тема 3. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики случайных величин. Непрерывные случайные величины. Функция плотности. Нормальная случайная величина. Функции Гаусса и Лапласа. Другие законы распределения.

1

1







4

^ Тема 4 Системы случайных величин. Зависимые и независимые величины. Совместные распределения. Ковариация и коэффициент корреляции. Устойчивость средних. Неравенство Чебышева и его применение. Закон больших чисел, теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема.

1

1










Итого

4

4









^

Список рекомендуемой литературы


Основная:

1. Кремер М. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2002.

2. Пантелеев В. П. Вероятность и статистика в задачах, учебное пособие. МГТУ 2008, 50 экз.3.

3.Электронная библиотека МГТУ. Папка Y:\eco\ecopma\Panteleev \Probability.

4. Вероятностные разделы математики. Под ред. Максимова Ю. Д. СПб, Иван Федоров, 2001.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: Дело. 2000 2001, в библиотеке 50 экз.

6. Ермаков В. И. (под ред.). Общий курс высшей математики для экономистов. М.: Инфра-М, 2000, 2001.

7. Ермаков В. И. (под ред.). Сборник задач по высшей математики для экономистов. М.: Инфра-М., 2001.

8. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник для вузов. М.:Инфра. 1998, 1999, в библиотеке 140 экз.

Дополнительная:

9. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. и др. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов. Руководство для решения задач. Ростов-на-Дону: Феникс, 1999. (195 экз.)

10. Шведов А. С. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд-во Высшей школы экономики. 1995.


Использование активных и интерактивных формы обучения составляет 22 % от аудиторных занятий:

а) программное обеспечение: MS Excel (Электронная таблица, графика и пакет программ в разделе «Анализ данных»)______________________

б) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

^

Содержание и методические указания к изучению тем дисциплины

«Теория вероятности и математическая статистика»



Тема 1. Понятие вероятности. Классическое определение и непосредственное вычисление вероятности. Алгебра свойств (событий, предложений, множеств). Условная вероятность и вероятность произведения. Вероятность суммы. Несовместные события.

Теоретический материал по теме 1 можно найти в книге [1] в главе 1 на стр.16– 45. Там же содержатся и задачи (с решениями) по этой теме на стр. 45–51. Соответствующий теоретический материал и задачи можно найти также в учебном пособии 2, §§ 1–8, стр. 4–35.


Цели занятия помочь студентам:

  1. активно освоить понятие вероятности

  2. и алгебру событий;

  3. научиться непосредственно её вычислять;

  4. освоить формулы для вероятности суммы и произведения.

Тема 2. Основные формулы и теоремы. Повторные независимые испытания. Размещения и сочетания. Геометрические и гипергеометрические вероятности (распределения). Формула Бернулли. Асимптотические формулы Лапласа и Пуассона. Полная вероятность и формула Байеса.

Теоретический материал по теме 2 можно найти в книге [1] в главах 1–2 на стр. стр. 51–82, там же на стр. 60–66 и 82–85 содержатся задачи по этой теме. Соответствующий материал имеется также в книге [2] стр. 35–75.


Цель занятия: помочь студентам освоить основные формулы для вычисления вероятностей, научиться пользоваться формулами для вычисления вероятностей:

  1. Бернулли

  2. асимптотическими формулами Лапласа и Пуассона

  3. формулой полной вероятности и Байеса.

Тема 3. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики случайных величин. Непрерывные случайные величины. Функция плотности. Нормальная случайная величина. Функции Гаусса и Лапласа. Другие законы распределения.

Теоретический материал по теме 3 можно найти в книге [1] в главах 3–4 на стр. 86–171 и в книге [2] на стр. 70–119. Этот материал подкреплен задачами в книге [1] на стр. 132–139 и 172–174, а также задачи по тексту в книге [2].


Цели занятия помочь студентам:

  1. освоить понятие случайной величины;

  2. научиться вычислять числовые характеристики случайных величин, дискретных и непрерывных.

  3. освоить предельные теоремы и распределения и

  4. научиться пользоваться ими.

Тема 4. Системы случайных величин. Зависимые и независимые величины. Совместные распределения. Ковариация и коэффициент корреляции. Устойчивость средних. Неравенство Чебышева и его применение. Теорема Чебышева и закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.


Теоретический материал по теме 4 можно найти в книге [1] на стр. 175–233 и в книге [2] на стр. 119-124. Задачи можно найти в [1] на стр. 213–214 и 234–236.


Цели занятия помочь студентам освоить:

  1. ковариацию и коэффициент корреляции – числовые характеристики, которые выражают связь между случайными величинами;

  2. природу устойчивости средних арифметических;

  3. неравенство Чебышева и его применения;

  4. группу теорем, выражающих закон больших чисел и

  5. центральную предельную теорему.



^

Контрольная работа №1


Каждый студент решает свой вариант задач, определяемый последней цифрой N номера студенческого билета. Оценка удовлетворительно ставится, если правильно решены 10 задач, хорошо, если 12 задач, и отлично, если решены 14 задач с подробным обоснованием выполненных действий. Если эти задачи, за решение которых, как упомянуто выше, будут выставляться высокие оценки, студент расценит как трудные, то он может избрать программу минимум – задачи практикума по теории вероятностей в книге [7] на стр. 340–346 (7 задач). В этой книге номер N варианта избирается также по последней цифре номера студенческого билета, если же эта цифра 0, то номер N варианта принимается равным 10.

  1. Дети задули 10 тонких свечей, равномерно вколотых в край круглого торта. Отец семейства разрезал торт на N+6 равных секторов по числу собравшихся за столом, и обнес ими сидящих. Какова вероятность, что мама семейства получила кусок торта с одной свечей?

  2. В кабину лифта на 1-ом этаже (^ N+10)-этажного жилого дома независимо вошли два пассажира. Какова вероятность, что они выйдут на разных этажах, если лифт с этими пассажирами уже прошел: a) 2-ой этаж и приближается к 3-му; b) 3-ий и приближается к 4-у; c) 5-й и приближается к 6-у?

  3. В урне 30 шаров, из них 2N+1 белых, остальные желтые. Среди белых шаров лишь N костяных, а среди желтых 5 костяных, остальные шары из пластика. Извлеченный из урны шар оказался: a) белым; b) желтым. Какова вероятность, что он костяной?

  4. Заметив, что 10% лиц, заказавших предварительно обед, не приходят обедать, менеджер ресторана принял на 40 мест 41+[N/2] заказов. Квадратной скобкой здесь обозначена целая часть числа N/2 – наибольшее целое, не превосходящее N/2. Какова вероятность, что мест хватит всем, кто придет обедать по предварительному заказу, и правильное ли решение менеджера?

  5. Два пастуха разом выстрелили (одиночными) в нападавшего волка, ранили и отогнали его. Волк ушел, но оставил следы ранения. Ранее, тренируясь в стрельбе по сходной цели, первый пастух попал 10 раз из 20 выстрелов, а второй 2+N раз из 20. Оценить вероятность (меру истинности) приводимых ниже событий (соответственно предложений) от A до J:

A. Первый пастух попал в волка; B. Второй пастух попал в волка;

C. Лишь первый пастух попал волка; D. Первый промахнулся;

^ E. В волка попал лишь второй пастух; F. Оба пастуха попали в волка;

G. Лишь кто-то один из них попал; H. Второй промахнулся;

I. Кто-то из пастухов попал в волка; J. Оба пастуха промахнулись.

  1. Имеются данные, что 1‰ самолетов из тех, что находятся в полете, неожиданно попадают в нестандартное положение. Оценить вероятность по Бернулли и Пуассону (и сравнить результаты), что a) из 100N самолетов, находящихся в полете, хотя бы два попадут в нестандартное положение. b) При каком числе самолетов в воздухе практически достоверно (с надежностью 0,9+0,01N) хотя бы один из них попадет в такое положение.

  2. На улицах города в течение недели в среднем происходит 7 д.т.п. (дорожно-транспортных происшествий). Оценить вероятность, что в предстоящие 1+N дней произойдет более 2-х д.т.п.

  3. Дано совместное распределение случайных величин X и Y:




значения величины Y

значения X

N -3

N -2

N -1

= 0

1/6

1/4

1/6

= 1

¼

1/6

0

Составить ряд распределения для X, дисперсию DX, ковариацию cov(X, Y), коэффициент корреляции, условные распределения P(Y=y/X=0) и P(Y=y/ X=1). Выяснить, зависимы ли величины X и Y.

  1. Все значения случайной величины X лежат в промежутке N до N+1, где её функция плотности имеет вид f(x) = K(xN). Найти число K и выписать для X функции плотности f(x) и распределения F(x). Построить графики функций f(x) и F(x), вычислить ожидание MX, дисперсию DX, квадратичное отклонение X и вероятность P(X >1,1N).

  2. Число X посетителей музея в течение дня распределено нормально, XN(m, ). При этом в течение года (360 рабочих дней) наблюдалось лишь 20+N дней, когда посетителей было более 1000, и лишь 18 дней, когда менее 900. Оценить ожидание m=MX, квадратичное отклонение , дисперсию DX и начертить схематический график функции плотности.

  3. Случайная величина ^ X распределена равномерно в промежутке [N/10, (N+1)/5]. Выписать для X функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x). Построить графики для функций f(x) и F(x). Вычислить ожидание MX, дисперсию DX, квадратичное отклонение X и вероятность P(X>(N+1)/10).

  4. Вероятность простоять в очереди за билетом не менее t минут равна exp(‑2t/N). Составить функцию распределения F(t) времени T пребывания в очереди, плотность распределения f(t), построить графики функций F(t) и f(t), вычислить среднее время MT, квадратичное отклонение T, моду Mo, медиану Me и вероятность простоять в очереди менее 5 минут.

  5. Два студента живут на одной улице длиною (N+4)/4 км, застроенной жилыми домами равной этажности. Оценить вероятность, что расстояние между их домами меньше: a) 500 м; b) меньше 1/3 длины улицы.

  6. В предстоящие сутки два сухогруза подойдут в причальной стенке, чтобы забрать лес. Погрузка каждого начинается сразу по прибытию, но не прежде, чем загрузится тот из них, что прибыл ранее. Погрузка одного длится N+6 часов, а второго N+4 часа. Оценить вероятность, что: a) первому не придется ждать, пока загрузится другой (событие A); b) второму не придется ждать; c) ни одному из них не придется ждать разгрузки другого.



^

Методические указания к контрольной работе № 1


Первые 3 задачи на прямое непосредственное вычисление вероятности события по формуле P(A) = nA/n. Здесь n – общее число возможных элементарных исходов, а nA – число исходов, отвечающих свойству A или событию A.

Задача 4 на формулу Бернулли Pn(k) = . Здесь Pn(k) – вероятность, что из числа n=41+[N/2] лиц, заказавших обед, k придут обедать, p = 0,9. К примеру, при N = 7 число предварительных заказов n=44. Если по этим заказам обедать придут K лиц, то мест хватит всем (событие A), если K≤40, и не хватит (событие ), если K>40. При n=44 событие = {K>40} = {K=41}+ {K= 42}+{K= 43}+ {K= 44} и его вероятность P() = Pn(41) + Pn(42) + Pn(43) + Pn(44). Остается правильно вычислить вероятности по формуле Бернулли для этих четырех последних слагаемых, сложить их, и записать ответ P(A) =1–P().

Задача 5 на алгебру событий и условную вероятность, вычисляемую по формуле P(A/I) = P(AI)/P(I). Здесь событиям A и B отвечают предложения: в волка попал 1-ый (2-ой) пастух. Событие I выражено предложением: волк ранен или, что равнозначно, кто-то из пастухов попал в волка. Вероятности событий A и B оцениваются априорными данными P(A) =10/20 =1/2, P(B)= (N+2)/20. Событие H, что пастухи ранили волка, рассматриваем как дополнительное апостериорное условие. Пренебрежение этим условием было бы ошибкой, поскольку в этом случае поставленная задача подменялась бы другой с усеченным условием. Далее, используется алгебра событий (предложений, логики) I=A+B = A+A, AI=A(A+B) = A, P(I) = P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 1/2 + (N+2)/20 – (N+2)/40. В числах это будет более просто. Прилагаем здесь образец решения такой задачи при иных числовых данных.

Задача 51. Два пастуха разом выстрелили (одиночными) в нападавшего волка, ранили и отогнали его. Волк ушел, но оставил следы ранения. Ранее, тренируясь в стрельбе по сходной цели, первый пастух попал 6 раз из 10 выстрелов, а второй 5 раз из 10. Оценить вероятность приводимых ниже событий (или меру истинности соответствующих предложений) от A до J:

^ A. Первый пастух попал в волка; B. Второй пастух попал в волка;

C. Лишь первый пастух попал волка; D. Первый промахнулся;

E. В волка попал лишь второй пастух; F. Оба пастуха попали в волка;

G. Лишь кто-то один из них попал; H. Второй промахнулся;

I. Кто-то из пастухов попал в волка; J. Оба пастуха промахнулись.

Решение. В задаче сказано, что пастухи ранили волка. Это значит, что кто-то из них, один или оба, попали в волка (условие ^ I=A+B). Поэтому, вычисляя вероятность событий (или меру истинности предложений) от A до J, надо учитывать это условие и принимать во внимание не все исходы, включая исходы J, которые могли произойти при стрельбе, а только те, которые ранят волка (исходы I). По этой причине ответом на пункты A, B,…, J будут априорные (без учета ранения волка) оценки вероятностей P(A) = 6/10, P(B) = 5/10, а условные вероятности P(A/I) = P(AI)/P(I); P(B/I) = P(BI)/P(I); P(C/I) = P(CI)/P(I); P(D/I) = P(DI)/P(I);…; P(J/I) = P(JI)/P(I) = 0; P(I/I) = P(I)/P(I) =1. Решая эту задачу, не стоит пренебрегать логическими формулами и тождествами I = A+B: AI=A(A+B) =A, BI=B(A+B) = B; F = AB; FI = ABI = AB(A+B) = AB; ; II=I; JI= – невозможное событие. Надо полагать, что пастухи не мешали один другому попасть в цель. Поэтому события A и B расцениваются как независимые, и вероятность произведения равна произведению вероятностей. P(AB) = P(A)P(B) = 0,60,5 = 0,3; P(I) =P(A+B) = P(A) +P(B) – P(AB) = 0,6+ 0,5 – 0,3 = 0,8; P(A/I) = P(AI)/P(I) = P(A)/P(I) = 0,6/0,8 = 3/4; P(B/I) = P(BI)/P(I) = P(B)/P(I) = 0,5/0,8 = 5/4; 0,60,5/0,8 = 3/8; P(D/I) = 0,40,5/0,8 = 1/4 ; P(F/I) = P(AB)/P(I) = 0,60,5/0,8 = 3/8; (0,60,5+0,40,5)/0,8= 5/8; 0,50,6/0,8 = 3/8; P(I/I) =1; P(J/I) = P(JI)/P(I) = 0.

Задаче 6 на формулу Бернулли Pn(k) = и асимптотическую формулу Пуассона pk=. a) Всего самолетов, совершающих полет n=100N. Вероятность p, что отдельно взятый самолет попадет в нестандартное положение, оценивается долей самолетов, попадающих в такое положение, p=0,001. Случайное число K самолетов, попавших в нестандартное положение биномиально распределено с параметром p=0,001. Вероятности конкретных значений биномиальной величины K вычисляются по формуле Бернулли P(K=k) =Pn(k) =, q=1– p= 0,999. Среднее значение величины K равно np и используется в качестве среднего для распределения Пуассона =np. В задаче требуется найти вероятность события {K≥2}. Проще вычислить вероятность противоположного события {K<2}={K=0} + {K=1}. Вероятность P(K<2) = qn + npqn-1 = qn-1(q + np) – сюда подставляются конкретные данные варианта. Далее вычисляется P(K>2) = 1– P(K<2). Равно и в пункте b также сначала вычисляется вероятность противоположного события при неопределенном числе k самолетов. Затем требуем, чтобы P(A) =1–0,9+0,01N. Задача 6 закрепляет практическое освоение формул Бернулли и Пуассона, а также понимание того, как связаны приближенные данные, получаемые по формуле Пуассона, с точными результатами, вычисленными по формуле Бернулли.

Задача 7 повторно акцентирует внимание на формуле Пуассона рk=ke-/k! для редких событий. Здесь  – среднее число д.т.п. в сутки. Сначала вычисляется вероятность противоположного события , что произойдет не более 2-х д.т.п., , а затем вычисляется уже искомая вероятность P(A) = 1– (p0+ p1+p2).

Задача 8 закрепляет стандартные процедуры составления маргинальных величин X и Y по совместному распределению пары величин X,Y и вычисления числовых характеристик. Данная таблица распределения вероятностей P(X=xi, Y=yj) = pij обычно дополняется еще одним столбцом и еще одной строкой. В столбце дополнительно выставляются вероятности значений для величины X, а в строке – вероятности значений величины X. Событие {X = 0} распадается в сумму несовместных слагаемых {X = 0} = {X=0,Y=y1} + {X=0,Y=y2} + {X=0, Y=y3}, запятая в фигурных скобках читается как произведение двух событий слева и справа от неё. Вероятность суммы {X= 0} равна сумме вероятностей, P(X=0) =P(X=0,Y=y1)+P(X=0,Y=y2)+ P(X=0,Y=y3). Так вычисляется вероятность первого значения величины X. Как видно, надо сложить все вероятности в первой строке таблицы вероятностей (левый нижний угол). Вероятности других значений X вычисляются аналогично. Вероятности значений Y получаются сложением вероятностей в столбцах таблицы вероятностей, соответствующих этим значениям Y.

В задаче 9 неизвестный коэффициент K ищется исходя из условия задачи, что все значения случайной величины лежат в промежутке от N до N+1. Это означает, что P(N1) = 1 и интеграл от функции плотности по этому промежутку равен 1, Коэффициент ^ K выносится множителем за знак интеграла, интеграл легко вычисляется и K выявляется из получившегося при этом равенства. Далее производятся стандартные вычисления числовых характеристик случайной величины X.

В задаче 10 требуется найти параметры m и  нормальной случайной величины XN(m, ). Для этого, заменяя вероятность оценками, составляется система двух уравнений с двумя неизвестными m=MX и =.

P(-∞<X<900) = 18/360 и P(1000<X<+∞) = (20+N)/360. Для нормированной величины (X–m)/ имеем P(-∞ < (Xm)/) < (900–m)/) = 18/360 и P((1000–m)/ < (Xm)/) <+∞) = (20+N)/360. Левые части выразим через функцию Лапласа Ф((900–m)/) – Ф(-∞) = 18/360, Ф(+∞) – Ф(1000–m)/) =(20+N)/360. Подставляем значения Ф(-∞) = -0,5 и Ф(+∞) = 0,5 и находим значения Ф((900–m)/) = -0,45, Ф(1000–m)/) = 0,5 – (20+N)/360. По найденным значениям функции Лапласа, пользуясь её таблицами или программно в MS Excel, ищем значения аргументов (Xm)/ = … и (900–m)/) = … Из этих двух линейных уравнений находим значения параметров m и . Остальные требования этой задачи не могут вызвать затруднений.

Решение задачи 11 в общем виде имеется в учебниках и включается в лекционный материал. От студента требуется правильно подставить конкретные числовые данные в общую схему решения для ожидания MX=(a+b)/2 и дисперсии DX=(b–a)2 /12. Квадратичное отклонение .

В задаче 12 говорится о времени T пребывания в очереди не менее t минут, P(T ≥ t) = exp(-2t/N). Это при t > 0, а при t ≤ 0 по смыслу P(T > t) = 1. Функция распределения F(t) выражает вероятность противоположного события, F(t) = P(T) = 1– P(T>t) = 1 – e-2t/N при t ≥ 0, и F(t) = 1–1= 0 при t < 0. Функция распределения непрерывна и возрастает, а вероятность попадания случайной величины T в заданную точку t равно нулю. F(t) = P(T) = . Согласно теореме Исаака Барроу производная интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в данном случае . Поэтому плотность f(t) ищем, как производную функции F(t) и по функции плотности вида выписываются параметры величины T, MX=1/ = .

Задача 13 и 14 на геометрическую вероятность, для их решения полезно ознакомиться с решением подобной задачи 131, которую мы приводим ниже.

Задача 131. В предстоящие сутки два траулера приходят в порт под разгрузку. Разгрузка каждого длится 16 часов и начинается по прибытию, но не прежде, чем разгрузится тот из них, что прибыл раньше. Какова вероятность, что ни одному из них не придется ждать, пока разгрузится другой (событие A). Ответ: 1/9.


Решение. Момент прихода в порт одного траулера обозначим x, а другого y. Тогда случайное прибытие траулеров в порт выразится точкой K =K(x, y) c координатами 0  x  24, 0  y  24. Все такие точки K в прямоугольной системе координат заполнят квадрат (см. рис.) со стороной 24 и составят поле U случайных исходов. Точки K от биссектрисы y=x вправо до 16 единиц отвечают тому, что первый пришел позже и ждет разгрузки второго, а точки от биссектрисы вверх до 16 единиц отражают то, что второй пришел позже и ждет разгрузки первого. Лишь когда первый запаздывает или опережает второго на более, чем 16 часов, оба разгружаются с момента их прибытия, что отвечает событию A. Поэтому в поле U событие A = {(x, y): |x – y| > 16} составят два равных прямоугольных треугольника с катетами 24 –16 = 8 и общей площадью n=82 кв. единиц. Поле U содержит n= 242 кв. ед. Полагаем, что точка K=K(x,y) с равной возможностью может попасть в любую из них, поэтому P(A) = n/n = 82/242 = (1/3)= 1/9.

В задаче 14 есть новшество, точки от биссектрисы y=x вправо до 4+N единиц отвечают тому, что первый пришел позже и ждет разгрузки второго, а точки вверх от биссектрисы до 6+N единиц отражают то, что второй пришел позже и ждет разгрузки первого. Первому не придется ждать, если он либо придет раньше второго (x), либо придет на 4+N часов позже второго (x > y+4+N).

^

Вопросы для самоподготовки

по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»





  1. Классическое определение вероятности. Непосредственное вычисление. Статистическая оценка вероятности.

  2. Алгебра событий (свойств, множеств, предложений). Вероятность противоположного признака.

  3. Условная вероятность. Зависимые и независимые признаки.

  4. Вероятность произведения двух и более признаков.

  5. Вероятность суммы двух и более слагаемых. Совместные и несовместные признаки.

  6. Элементы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания.

  7. Геометрические вероятности. Аксиоматическое определение вероятности.

  8. Формулы полной вероятности и Байеса.

  9. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли .

  10. Формула Пуассона и локальная теорема Лапласа и их применение.

  11. Интегральная теорема Лапласа. Работа с таблицами.

  12. Понятие случайной величины. Дискретные величины. Ряд распределения вероятностей.

  13. Математическое ожидание и его свойства.

  14. Дисперсия, её свойства.

  15. Ковариация и её свойства. Коррелированность и зависимость случайных величин.

  16. Непрерывные случайные величины. Функция плотности. Примеры.

  17. Дисперсия и другие моменты непрерывной случайной величины.

  18. Функция распределения и её свойства.

  19. Вероятность попадания значения случайной величины в промежуток. Функции Гаусса и Лапласа.

  20. Устойчивость средних. Неравенство Чебышева.

  21. Закон больших чисел, теорема Чебышева.

  22. Теорема Бернулли (закон больших чисел).

  23. Центральная предельная теорема и интегральная теорема Лапласа.

  24. Совместное распределение случайных величин. Условные распределения и ожидания.

  25. Коэффициент корреляции и его свойства.

  26. Необходимый и достаточный признак линейной функциональной зависимости.



Похожие:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное агентство по рыболовству федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «мурманский государственный технический университет»
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «мурманский государственный технический университет»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "мурманский государственный технический университет"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "мурманский государственный технический университет"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "мурманский государственный технический университет"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "мурманский государственный технический университет"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «мурманский государственный технический университет»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "мурманский государственный технический университет"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "мурманский государственный технический университет"

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования \"мурманский государственный технический университет\" iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "мурманский государственный технический университет"

Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©edu.znate.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы