Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома icon

Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома




Скачать 401.18 Kb.
НазваниеСправочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома
страница3/5
Дата18.05.2012
Размер401.18 Kb.
ТипСправочник
источник
1   2   3   4   5
Глава 8. Дифференциальное исчисление.

§8.1 Пределы.

Если последовательности (xn) и (yn) сходятся, то есть , то:





, где

Первый замечательный предел:

==1

Следствие:

=1, =1

=k, =

=, =

Второй замечательный предел:

==e

Основные неопределенности:

,,,,

Основные эквивалентные бесконечно малые величины:

sinxx, tgxx, ln(1+x)x, 1-cosxx2, ex-1x, при x

§8.2 Производные и дифференциалы.

Определение производной:



Дифференциал:

dy= f’(x)dx, dy=, f(x)= f(x0)+ f’(x0)+о()

Правила дифференцирования:

  1. (UV)’=U’V’

  2. (UV)’=U’V’U

  3. ()’=

  4. (CU)’=CU’ , C-const

Производная сложной функции:

Пусть y=f(U), где U=(x): y=f[(x)] – сложная функция

y’x=y’UU’x

Производные основных элементарных функций:

  1. =0, C-const

  2. =1

  3. =nxn-1

  4. =-1/x2

  5. =

  6. =1/x

  7. =

  8. =axlna

  9. =ex

  10. =cosx

  11. = -sinx

  12. =

  13. =

  14. =

  15. =

  16. =

  17. =

Правило Лопиталя:



§8.3 Исследование функции с помощью производной.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если f’(x) на (a,b) положительна, то функция возрастает на этом интервале.

Если f’(x) на (a,b) отрицательна, то функция убывает на этом интервале.

Экстремум дифференциальной функции y=f(x).

Если x0- точка экстремума функции y=f(x), то y=f’(x)=0 или не существует.

Достаточные условия экстремума:

1-е правило:

Пусть f’(x0)=0 или f’(x0) не существует, то есть x0- точка, подозрительная на экстремум.

Если f’(x) при переходе через точку x0 слева на право меняет знак с «+» на «-», то x0-точка максимума.

Если f’(x) при переходе через точку x0 слева на право меняет знак с «-» на «+», то x0-точка минимума.

Если f’(x) при переходе через точку x0 не меняет знака, то в точке x0 нет экстремума.




2-е правило:

Пусть f(x) дважды дифференцируема в точке x0 и f’(x)=0, f’’(x)0.

Если f’’(x0)0 , то x0- точка максимума.

Если f’’(x0)0 , то x0- точка минимума.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Если кривая вогнута на некотором интервале, то f’’(x)>0 для всех x из этого интервала.

Если кривая выпукла на некотором интервале, то f’’(x)<0 для всех x из этого интервала.






Необходимое условие перегиба:

Если хс- точка перегиба кривой, то f’’(x0)=0 или f’’(x0) не существует.

Достаточное условие перегиба:

Если вторая производная непрерывной функции y=f(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то (х0,f(x0)) – точка перегиба графика функции.

Асимптоты:

Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва 2-го рода. Уравнение вертикальной асимптоты х=а, причем хотя бы один из пределов

 или  , бесконечен.

Уравнение невертикальной асимптоты ищут по формуле y=kx+b, где k= , b=

Если хотя бы один из пределов не существует, то невертикальных асимптот нет.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а;b]:

  1. Находим все критические точки функции (а;b), решая уравнение f’(x)=0 и определяя, где f’(x) не существует;

  2. Вычисляем значение функции в критических точках, принадлежащих (а;b);

  3. Вычисляем значение функции на концах отрезка, то есть при x=a и x=b;

  4. Из всех этих значений выбираем наибольшее и наименьшее.


§8.4 Физический и геометрический смысл производной.

Если S(t) – закон движения материальной точки, то S’(t)=V(t) – закон ее скорости, а S’’(t)=V’(t)=a(t) – ускорение.

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) равен значению ее производной при х равном абсциссе точки касания, то есть k=tg=f’(x0).



Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,f(x0)):

y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)

Глава 9. Функции нескольких переменных

Функция двух переменных: или

Полное приращение функции:

Дифференциал функции в точке:

- частные производные, вычисленные в точке

Градиент функции :

Производная по направлению, определяемому вектором , где - направляющие косинусы вектора :



Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, при этом все переменные кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.


Глава 10. Интегральное исчисление.

§ 10.1. Неопределенный интеграл.

Первообразной функции на отрезке называется функция , такая, что:



Неопределенный интеграл: , где - первообразная функции, С – произвольная постоянная.

Основные свойства:



  1. , k – произвольная постоянная.

Замена переменной в неопределенном интеграле:



  1. ,

Частные случаи:



Таблица интегралов:


Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:

, , ,

Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:



, т.е. дробь правильная.


§ 10.2. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

- непрерывна, F – первообразная для .

Теорема Барроу:

Если непрерывна, то

Свойства определенного интеграла:



Теорема о среднем:

Если непрерывна на [a, b], то такое, что:

.

Замена переменных:

,

где - монотонна, непрерывно дифференцируема; ,


Интегрирование по частям:




§ 10.3. Некоторые приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции:







(- непрерывна, 0)


Площадь фигуры, ограниченной линиями:


?

Площадь криволинейного сектора:


?=?

?=?

r=r(?)

?



?



Объемы тел, полученных вращением криволинейной трапеции:



вокруг оси Оx:

,


вокруг оси Oy:


?(y)
,


§ 10.4. Несобственный интеграл.



Если существует и конечен, то несобственный интеграл сходится, если этот предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.



Глава 11. Кратные интегралы.

§ 11.1. Двойной интеграл.



Сведение к повторному и изменение пределов интегрирования:








Н
?(y)
екоторые приложения двойного интеграла


Площадь фигуры: F=

Объем цилиндроида:

Масса плоской фигуры: , где – плотность

Двойной интеграл в полярной системе координат








?=?
, где:


?=?

?

?


Сведение к повторному:



Площадь фигуры в полярных координатах:



§ 11.2. Тройной интеграл.

Сведение к повторному:

Некоторые приложения тройного интеграла

Объем тела:

Масса тела: , где - плотность тела.

§ 11.3. Криволинейный интеграл второго рода.



Изменение направления обхода по кривой:



Сведение криволинейного интеграла 2-го рода к определенному интегралу:

  1. Кривая АВ задана уравнением , где



  1. Кривая АВ задана параметрически: x=x(t), y=y(t)



Формула Грина:

, где:

Д – односвязная область, Г – граница области,

обход области совершается против часовой стрелки.

Приложение криволинейного интеграла

Работа переменной силы вдоль кривой АВ:



§ 11.4. Поверхностные интегралы.

Поверхностный интеграл 1-го рода



Сведение к двойному:

,

где поверхность S задана уравнением Z=z(z,y),

D – проекция поверхности S на плоскость xOy

Поверхностный интеграл 2-го рода



Сведение к двойному:



, где:

, , - направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности S, Dyz, Dxy, Dxz – проекции поверхности S на соответствующие координатные плоскости. Знак перед двойным интегралом совпадает со знаком соответствующего косинуса нормали.

Формула Стокса:





L – контур, ограничивающий поверхность S. Обход контура согласован с выбором стороны поверхности по правилу Стокса.

Формула Стокса в символьной форме:



где , , - направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности.

Формула Остроградского:

,

где S – внешняя сторона поверхности тела T, , , - направляющие косинусы нормали к поверхности S.

1   2   3   4   5



Похожие:

Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома iconСправочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома
Основные числовые множества
Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома iconСправочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома 2009
Основные числовые множества
Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома iconРабочая программа учебной дисциплины менеджмент для специальностей технического профиля
Составлена в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальностям...
Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома iconРабочая программа учебной дисциплины экономика отрасли для специальностей технического профиля
Составлена в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальности
Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома iconРешение на использование этого произведения таким же способом
Справочник предназначен для широкого круга специалистов научно-технического и художественного творчества, преподавателей, аспирантов...
Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома iconМетодические указания к типовому расчету по разделу «Элементы математической статистики», предусмотренному программой курса математики для студентов инженерно-технических и экономических специальностей вузов
Сборник заданий к типовому расчету по математической статистике: учебно-методическое пособие/ Л. А. Секованова, Т. А. Андревкина,...
Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома iconПримерная программа учебной дисциплины управление качеством для специальностей технического профиля
Примерная программа учебной дисциплины «Управление качеством». – М.: Издательский отдел ипр спо, 2004. – 16 с
Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома icon-
Российской культуры, проблемы взаи моотношений человека и общества. Словарь-справочник может быть использован для подготовки по всему...
Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома iconСправочник по цвету» 29. «Рисунок для архитекторов»
Элизабет Уилхайд «Отделочные материалы. Справочник материалов для отделки интерьера»
Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля Кострома iconПредлагаемые тексты адаптированы к уровню знаний студентов по научному стилю речи на соответствующем этапе обучения
Пособие составлено в соответствии с требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки обучающихся факультетов и отделений предвузовской...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©edu.znate.ru 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы